實對稱矩陣的特征值一定是實數(shù)嗎

中職學(xué)校招生網(wǎng) 2025-10-24 14:18:22

實對稱矩陣的特征值一定是實數(shù)嗎

是。實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)，特征向量都是實向量。實對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量是正交的。n階實對稱矩陣必可相似對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特征值。

實對稱矩陣的含義

如果有n階矩陣A，其矩陣的元素都為實數(shù)，且矩陣A的轉(zhuǎn)置等于其本身（aij=aji），(i,j為元素的腳標），則稱A為實對稱矩陣。

實對稱矩陣A一定可正交相似對角化。

n階實對稱矩陣A必可相似對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特征值。

求矩陣的全部特征值和特征向量的方法

第一步：計算的特征多項式；

第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值；

第三步：對于的每一個特征值，求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，則的屬于特征值的全部特征向量是（其中是不全為零的任意實數(shù)）。

需要注意的是：若是的屬于的特征向量，則也是對應(yīng)于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一確定。反之，不同特征值對應(yīng)的特征向量不會相等，亦即一個特征向量只能屬于一個特征值。

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